ナルＡ

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|> 論理法則のなかで |> 排中律というしくみがあります。 |> 命題Ａと命題非Ａのどちらか一方が成り立つ。。。 |> 背理法は、この排中律を使っているわけでして。。 |> 背理法のしくみはこうです。 |> 命題Ａが成立すると仮定すると |> 矛盾が出てくる。したがって、非Ａが |> 成立する。 |> 背理法は、排中律をつかっていることが見てとれます。 |> 数学者さんたちは、実は、この背理法があまり |> 好きではないらしいですね。どうしてか |> わからないけれど。 |> 非Ａを証明するのなら、もっとどうどうと |> 直接証明したいのに、手段がなくて |> しかたなくＡを仮定すると矛盾するという |> 言い方で逃げている、、という感覚らしいです。 |> 子供に背理法を教えるのも大変なんだ。 |> 証明が |> スッキリわかった感じがしないからだろうな。 |> 実際、背理法をいっさい使わないという |> 数学者の学派が |> 昔「直観主義」という旗をあげていたけれど |> 今はどうなのかなぁ。直観という言い方が好きで |> しばらくおいかけたけれど。（アイドルでしたね。） |> 彼らの生み出した、非正統的な解析方法で |> 「超限解析」というのが、一時期一世風靡して |> いましたが。たしか無限小解析とも言って |> 「無限小」を数のなかまとしてとりあつかう。 |> とんでもねぇなぁ。無限小は、「数」の集まりの |> 状態であって。特定の「数」ではないはずなのに。 |> 無限大もね。フフフ。 |> 今日、光速度が変化するならば宇宙は崩壊するという |> いいかたを別の記事で |> 書いたのだけれども。一種の背理法でして。 |> スッキリしてないような。。 |> −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |> では、背理法を使わないが、排中律をつかった |> 証明の事例をひとつ。要、中学生程度の数学力。 |> 命題Ｃ： |> 無理数の無理数乗で、有理数となるものがある。 |> この命題Ｃを証明せよ。 |> 証明の前に、ちょっと考えると、ほんとに |> あるんかいなぁ？と思うのですが。 |> 具体的な事例は思い付かないからですね。 |> −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |> 以下、証明。 |> �@２の平方根（ルート２）をＫと書く。 |> Ｋはもちろん、アリストテレス、プラトンのむかしから |> 無理数だと知れている。 |> �AＫのＫ乗のそのまたＫ乗について |> これから考えることとする。 |> 実はＫのＫ乗のそのまたＫ乗は |> ２である。 |> Ｋ＾Ｋ＾Ｋ＝Ｋ＾（Ｋ＊Ｋ）＝Ｋ＾２＝２ |> �B命題Ａについて考える。 |> 「ＫのＫ乗が有理数である。」 |> �C命題非Ａについて考える。 |> 「ＫのＫ乗が無理数である。」 |> �Dここで、命題Ａと命題非Ａのどちらか一方は |> 確実に真実であることだけ留意しておく。 |> どちらが正しいのかはここでは問わない。 |> �E命題Ａがなりたつのならば |> 無理数の無理数乗で有理数が存在することがわかる。 |> �Fいっぽう命題非Ａがなりたつのならば |> （ＫのＫ乗）のＫ乗は |> 無理数の無理数乗であるが |> すでに�Aでみたように、これは、有理数である。 |> 無理数の無理数乗で有理数が存在することになる。 |> �Gしたがって |> 命題Ａと命題非Ａのどちらが真であっても |> いずれにせよ、 |> 無理数の無理数乗で有理数が存在することになる。 |> したがって、命題Ｃは |> 真であり、証明完。 |> −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |> おわかりのように |> これは背理法を使わないが排中律を使った |> 存在証明なのです。 |> ここでおもしろいのが |> 数学者たちは |> 実際には |> ルート２のルート２乗が |> はたして有理数なのか無理数なのか |> 誰も知らないということなのです。 |> どちらか一方がわかったら |> 雑誌「数学セミナー」あて |> 証明を送ってください。 |> 一躍有名になれるでしょう。 |> みてわかるとおり |> 実際に無理数の無理数乗で、具体的に |> 確実に有理数となつ事例を示せないにも |> かかわらず、その存在だけはわかるという |> なんとも珍妙なことが起きているわけでして。 |> これを気持ち悪いと思うのは当たり前だと |> 思います。 |> ナルＡについて思い出したので |> おもわず書いちゃいましたが。 |> 困ったもんだ、、（ふう） |> これを読んだＳｈｉｍｉｚｕさんは |> きっと |> 「本ＢＢＳにふさわしくない」と |> 思うかもね。